KINEMATIKA  HMOTNÉHO BODU
 


 

 

 

Zpět na obsah

Definice rychlosti

Rozdělení pohybů podle rychlosti a definice zrychlení

Rovnoměrný přímočarý pohyb

Rovnoměrně zrychlený pohyb

Rovnoměrný pohyb po kružnici

Další pohyby

 

Kinematika je obor mechaniky, který popisuje pohyb těles, ale nezabývá se příčinami pohybu.

Hmotný bod    – je myšlený bodový objekt, který má hmotnost, ale nemá rozměry

                        – nahrazujeme jím těleso, pokud jeho rozměry jsou zanedbatelné vzhledem k uvažovaným vzdálenostem pohybu,  hmotný bod se umísťuje do těžiště tělesa, má jeho hmotnost

                        – používáme ho pro zjednodušení.

 

Těleso je vůči jinému tělesu v klidu, když vzhledem k němu nemění svou polohu.

Těleso je vůči jinému tělesu v pohybu, když vzhledem k němu mění svou polohu.

Klid nebo pohyb těles nikdy nelze určit jednoznačně Þ musí se určit vztažné těleso, vzhledem ke které se těleso pohybuje, anebo je v klidu. Příklad – když sedíme v jedoucím autě, jsme vůči autu v klidu a vůči zemi v pohybu. Klid je vždy relativní. Absolutní klid neexistuje.

Když vztažné těleso umístíme se počátku soustavy souřadnic a určíme čas, získáme vztažnou soustavu. Stav hmotného bodu (HB) je určen čtyřmi rozměry – x, y, z, t.

Vztažné soustavě však může chybět rozměr z – pro pohyb po ploše (fotbalista na hřišti), nebo i y – pro pohyb po přímce (běžec na 100 metrů)

Rozměry x, y, z určují polohu HB v soustavě souřadnic, t čas. Polohu HB lze vyjádřit také pomocí polohového vektoru r (jeho počáteční bod leží v počátku soustavy souřadnic a koncový bod je dán hmotným bodem. Poloha se pak udává velikostí vektoru

,

směr úhly, které svírá s osami souřadnic.

 

 

Trajektorie je geometrická čára (přímka nebo křivka), kterou HB při pohybu opisuje

                     – podle jejího tvaru dělíme pohyby na

                                   1. přímočaré

2. křivočaré

Dráha je délka trajektorie, kterou HB opíše za určitou dobu Þ dráha je závislá na čase s ~ t

[s] = m

 

Vyjádříme-li polohu HB polohovým vektorem a mění-li HB polohu v závislosti na čase – vyjadřují polohy HB – A, B, C, D – vektory OA, OB, OC a OD.

Pokud se HB při pohybu přesune za čas Dt z bodu A do bodu A´, změní se jeho polohový vektor o Dr.

 

Okamžitá rychlost v v čase t v bodě A je dána podílem

.

Z obrázku vyplývá, že směr vektoru rychlosti je tečna k trajektorii pohybu, orientace je ve směru změny polohového vektoru. Rychlost je vektorová veličina. Rychlost je změna polohy za čas.

Velikost okamžité rychlosti je dána podílem velikosti změny polohového vektoru a časového intervalu, který změna polohy trvala.                                                                                    

.              [v] = m × s–1

Pro zjednodušení lze vyjádřit pomocí dráhy a času průměrná rychlost vp. Je to skalární veličina, která udává dráhu s, kterou HB urazí za delší časový interval t.

Velikost okamžité rychlosti lze definovat také jako průměrnou rychlost na velmi malém úseku trajektorie pro velmi malý časový interval.

 

Rozdělení pohybů podle rychlosti

1. Rovnoměrný (konstantní rychlost)

2. Nerovnoměrný (rychlost se mění)

 

 

Změny rychlosti charakterizuje vektorová veličina zrychlení a. Má-li HB v bodě A a v čase t rychlost v a v bodě A´ a čase t + Dt rychlost , pak se rychlost změní o Dv. Velikost okamžitého zrychlení a je dána vztahem

.             [a] = m × s–2 

Okamžité zrychlení má směr změny rychlosti Dv. Zrychlení má vždy tečnou a normálovou složku. Tečné zrychlení mění velikost rychlosti, normálové zrychlení mění směr rychlosti.

 

 

 

Pohyby a jejich zrychlení:

POHYB

Tečné zrychlení

Normálové zrychlení

Celkové zrychlení

Rovnoměrný přímočarý

at = 0

an = 0

a = 0

Rovnoměrný křivočarý

at = 0

an ¹ 0

a ¹ 0

Nerovnoměrný přímočarý

at ¹ 0

an = 0

a ¹ 0

Nerovnoměrný křivočarý

at ¹ 0

an ¹ 0

a ¹ 0

 

Celkové zrychlení je rovno vektorovému součtu obou zrychlení

a = at + an

Velikost okamžitého zrychlení je dána:

.

Známe-li velikost tečného a normálového zrychlení, lze velikost celkového zrychlení vypočítat vztahem

 

Rovnoměrný přímočarý pohyb

Tento pohyb je charakterizován zrychlením a = 0.

Z toho, že zrychlení je nulové, vyplývá, že rychlost je konstantní, tj. nemění ani svou velikost ani směr. Trajektorií je přímka.

Pohyb je dán jeho počáteční rychlostí v0.

 

Při rovnoměrném přímočarém pohybu se dráha mění přímo úměrně v závislosti na čase, kdy konstantou úměrnosti je rychlost.

 

 

                                      

Vlevo je graf závislosti rychlosti rovnoměrného přímočarého pohybu na čase, jeho vyšrafovaná plocha je dráha s, kterou HB urazil za 4 s. Vpravo je graf závislosti dráhy rovnoměrného přímočarého pohybu s počáteční dráhou s0.

 

Rovnoměrně zrychlený (zpomalený) přímočarý pohyb

Tento pohyb charakterizuje nenulové zrychlení a, které je rovnoběžné se směrem pohybu, tzn. mění se jen velikost rychlosti a ne její směr. Trajektorií je přímka. Při zpomaleném pohybu je orientace zrychlení proti směru pohybu, jeho velikost vzhledem k pohybu má záporné hodnoty.

Rychlost je přímo úměrná času a konstantou úměrnosti je zrychlení.

Dráha je přímo úměrná čtverci času. Celková dráha je rovna součtu dráhy na začátku pohybu s dráhou, kterou by HB urazil, kdyby se pohyboval rovnoměrně a s dráhou, kterou by HB urazil, kdyby zrychloval s nulovou počáteční rychlostí.

Zvláštním druhem rovnoměrně zrychleného pohybu je volný pád. Směr jeho pohybu je vždy do středu Země. Jeho zrychlení se značí g a nazývá se tíhové zrychlení. Jeho velikost v našich zeměpisných šířkách je g = 9,81 m × s–2.

 

Na horní přímce obrázku je vývoj rychlosti při rovnoměrně zrychleném přímočarém pohybu, na dolní je vývoj rychlosti při rovnoměrně zpomaleném pohybu. Nahoře se její velikost zvětšuje, dole zmenšuje.

 

                                      

Na obrázku vlevo jsou dva grafy – graf v = a×t pro závislost rychlosti na čase při rovnoměrně zrychleném pohybu s nulovou počáteční rychlostí, graf v = v0+a×t s počáteční rychlostí v0. Obrázek vlevo vyznačuje závislost rychlosti na čase při rovnoměrně zrychleném pohybu s počáteční rychlostí v0 = 2 m/s. Vyšrafovaná plocha ve směru ä je dráha, kterou by HB urazil rovnoměrným přímočarým pohybem s rychlostí v0, plocha vyšrafovaná ve směru ã je plocha, kterou urazí HB rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením a a nulovou počáteční rychlostí. Součet těchto dvou ploch je dráha rovnoměrně zrychleného pohybu se zrychlením a a počáteční rychlostí v0.

 

                              

Na obrázku vlevo je graf dráhy rovnoměrně zrychleného pohybu se zrychlením a a nulovou počáteční rychlostí, na obrázku vpravo je graf dráhy rovnoměrně zpomaleného pohybu. Zrychlení a je orientované proti směru pohybu s počáteční rychlostí v0.

 

Skládání pohybů

HB často koná více pohybů současně – člověk, který se pohybuje ve vlaku a my zjišťujeme jeho pohyb vzhledem k zemi, člun plující přes řeku atd. Výslednou polohu tělesa získáme složením dílčích jednoduchých pohybů. Při skládání pohybů platí princip nezávislosti pohybů:

Koná-li HB současně dva nebo více pohybů po dobu t, je jeho výsledná poloha taková, jako kdyby konal tyto pohyby postupně v libovolném pořadí, každý po dobu t.

 

Rovnoměrný pohyb po kružnici

Je rovnoměrný pohyb, jehož trajektorií je kružnice.

Pro určení polohy HB na kružnici se používá úhel. Jeho velikost je určena poměrem délky oblouku kružnice s od daného nulového bodu a poloměru kružnice r. Jednotkou této úhlové míry je radián.

 

Velikost úhlu, který opíše HB při oběhnutí celé kružnice je      

 

Umístíme-li do středu kružnice počátek soustavy souřadnic, pak poloměr v bodě kružnice, kde se nachází HB, je polohový vektor. Podle definice rychlosti platí

.

Směr rychlosti je tečna ke kružnici v daném bodě.

Velikost rychlosti HB však závisí na poloměru kružnice. Proto se zavedla veličina úhlová rychlost w, která neuvažuje poloměr kružnice.

(úhlová rychlost je vektorová veličina – směr je kolmice k rovině kružnice, vektor umísťujeme do středu kružnice, orientaci určíme pravidlem pravé ruky – informace pro případ dotazu; uč. str. 65)

Z definic rychlosti

a úhlové rychlosti

vyplývá, že 

v = w × r

Úhel, který opíše HB za čas t, je přímo úměrný úhlové rychlosti. 

j = w × t

Rovnoměrný pohyb po kružnici je pohyb periodický, tzn. stále se opakuje oběh celého obvodu kružnice. Čas, za který HB oběhne celý obvod kružnice, tj. úhel 2p, se nazývá perioda pohybu a značí se T. Podle vztahu

platí

.

Kromě periody T se zavádí také frekvence pohybu f. Vyjadřuje počet oběhů HB za jednotku času.

             [f] = s–1 = Hz  (hertz). 

w = 2 × p × f

Při rovnoměrném pohybu po kružnici se nemění velikost rychlosti, ale mění se směr. Proto je tečné zrychlení at rovno nule a pohyb je charakterizován normálovým neboli dostředivým zrychlením an (ad). Toto zrychlení je vždy kolmé ke směru okamžité rychlosti, v případě kružnice pak směřuje do středu kružnice. Jeho velikost:

 

Rovnoměrný pohyb po kružnici má v praxi velké využití:

- kolo automobilu                                         

- ventilátory

- hodinové ručičky

- měření rychlosti proudění vzduchu

- rotační generátory     

 

 

 

Na obrázku jsou vyznačeny okamžité rychlosti a okamžité zrychlení v daných bodech.

 

Dalšími v praxi běžnými pohyby jsou rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici, kde se kromě dostředivého zrychlení musí uvažovat i tečné, a pohyb po elipse, kterým obíhají planety kolem Slunce a družice přirozené i umělé kolem planet. Pohyby po elipse se řídí Keplerovými zákony:

1.      Planety se pohybují kolem Sluce po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce.

2.      Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za jednotku času jsou konstantní.

3.      Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin hlavních poloos jejich trajektorií.

                         

Na obrázku vlevo je elipsa. Bod M je bod elipsy. Body F1 a F2 jsou ohniska, body A, B, C a D jsou vrcholy elipsy. Úsečky AS a BS jsou hlavní poloosy a. Obrázek vpravo je grafické znázornění druhého Keplerova zákona.

 

 

Pozn. TUčNou KURZíVou sE píše VELIčINA JAKO VEKTOR, normálním písmem se píše jeho velikost.

|vektor| = vektor → |F| = F

Vektorové veličiny v mechanice:

Kinematika: r – polohový vektor HB, v – rychlost HB, a – zrychlení HB

Dynamika: F – síla působící na HB, p – hybnost HB,

Mechanika tuhého tělesa: M – moment síly

Gravitační pole: K – intenzita gravitačního pole

 

Zpět na začátek

Zpět na obsah

Zpět na hlavní stránku