Rovnovážná poloha tuhého tělesa
Kinetická energie tuhého tělesa
Tato část mechaniky se zabývá pohyby tělesa, při
kterých těleso nelze nahradit hmotným bodem, tzn. nelze zanedbat jeho rozměry a
tvar a musí se uvažovat otáčivý pohyb tělesa.
Na těleso působí síly. Ty však ve skutečnosti mohou
mít i deformační účinky. Proto si
reálné těleso nahradíme tuhým tělesem,
u kterého deformační účinky zanedbáváme.
Tuhé těleso je
ideální těleso, jehož tvar ani objem se účinkem libovolně velkých sil nemění.
Pohyb tuhého tělesa se vždy
skládá z pohybu posuvného (translace)
a pohybu otáčivého (rotace).
Posuvný pohyb
Všechny body tělesa opisují
trajektorie stejného tvaru a v daném okamžiku mají všechny body tělesa
stejnou rychlost v. Posuvný pohyb koná např. vagón, který jede po přímé trati.
Otáčivý pohyb
Všechny body mají
v daném okamžiku stejnou úhlovou rychlost w. Nejjednodušší případ
otáčivého pohybu je otáčení tuhého tělesa kolem nehybné osy. Otáčivý pohyb
konají např. dveře, okno, brusný kotouč.
Pohyb složený z těchto dvou pohybů koná valící
se kolo, rotující disk nebo planety.
Chceme-li posoudit, jaký je otáčivý účinek síly
na tuhé těleso, musíme zavést veličinu moment
síly M. Moment síly je vektorová
fyzikální veličina a je roven vektorovému součinu vzdálenosti d
od osy otáčení a působící síly F.
M = F × d
Velikost momentu síly se určí ze vztahu
M = F × d × sin a
a je úhel, který svírá síla F se vzdáleností d od osy otáčení
Je-li vzdálenost d
kolmá k vektorové přímce síly F
(získáme ji, proložíme-li vektor síly přímkou), bude platit M = F × d. d
je pak kolmá vzdálenost vektorové přímky síly od osy otáčení a nazývá se
rameno síly.
Naproti tomu prochází-li vektorová přímka síly F osou otáčení, síla nemá otáčivý
účinek, těleso se pohybuje posuvně.
Vektor momentu síly leží v ose otáčení,
orientace se určí pravidlem pravé ruky (pravotočivého šroubu).
[M] = N × m (newton metr) →
tato jednotka má sice stejný rozměr jako práce a energie, ale moment síly je
vektorová veličina
Pokud těleso
není upevněno, prochází osa otáčení těžištěm; v případě, že je těleso
upevněno, prochází osa otáčení bodem, ve kterém je těleso upevněno.
Působí-li na těleso více sil, jejich celkový otáčivý
účinek je určen výsledným momentem sil.
Výsledný moment sil M je vektorový
součet momentů jednotlivých sil vzhledem k dané ose, tedy
M = M1 + M2 + … + Mn
Všechny momenty sil leží v ose otáčení, ale
mohou mít různý směr. Ve zvláštním případě se otáčivé účinky sil navzájem ruší.
Pak platí momentová věta:
Otáčivé účinky
sil působících na tuhé těleso otáčivé kolem nehybné osy se navzájem ruší, je-li
vektorový součet momentů všech sil vzhledem k ose otáčení nulový:
M = M1 + M2 + … + Mn = 0
Podle momentů sil a momentové věty se skládají síly působící na tuhé těleso.
Všechny síly, které působí na těleso, se skládají ve výslednici sil a pro skládání platí momentová věta.
F = F1 + F2
+ … + Fn M1
+ M2 + … + Mn = 0
Skládají-li se dvě rovnoběžné síly stejné orientace,
platí pro ně dvě rovnice:
F = F1 + F2 F1
× d1 = F2 × d2
První rovnice určí velikost výslednice, druhá polohu
působiště.
Nejznámější příkladem pro skládání sil podle
momentové věty je páka. Páka
může být dvojzvratná nebo jednozvratná.
Na dvojzvratnou páku působí na jedné straně od osy
otáčení tíha břemene a na druhé působíme silou. Abychom břemeno zvedli, musí
být moment vyvolaný naší silou větší než moment vyvolaný tíhou břemene.
U jednozvratné páky je břemeno i působící síla na
stejné straně od osy otáčení. Proto síla musí působit vzhůru.
Pokud na těleso působí dvě
stejně velké síly opačné orientace – F
a F´, pak je nemůžeme nahradit
jedinou silou. Tyto síly mají jen otáčivý účinek, který je vyjádřen momentem D dvojice sil. Rameno dvojice
sil d je vzdálenost vektorových
přímek obou sil.
Velikost momentu dvojice sil je rovna součinu
velikosti jedné síly a ramene dvojice,
D = F × d
Moment D dvojice sil je kolmý
k rovině, v níž leží síly, a jeho směr určíme pomocí pravidla pravé
ruky.
Dvojice působí např. při utahování šroubu nebo při
otáčení volantem, a to i když jím točíme jen jednou rukou – ruka spolu
s volantem působí na čep volantu, který vyvolá reakci působící na volant.
Dvojici pak tvoří síla, kterou působí ruka na volant, a reakce, kterou na
volant působí čep.
Stejně jako se síly skládají, jedna síla se může
rozložit na více sil. Při tom platí to, že kdybychom chtěli rozložené síly opět
složit ve výslednici, budou opět platit obě rovnice, tj. skládání sil a
momentová věta.
Těžiště tuhého
tělesa
Těžiště tuhého tělesa je působiště tíhové síly působící na těleso v homogenním tíhovém
poli. Je-li těleso zavěšeno, po ustálení lze určit těžnici – je to přímka, která spojuje těžiště tělesa a bod závěsu.
Těžiště T pak je průsečíkem všech těžnic.
Pokud je těleso stejnorodé
(homogenní), tzn. má všude stejnou hustotu, a má:
střed souměrnosti, pak těžiště leží v něm.
osu souměrnosti, pak těžiště leží na ní.
rovinu souměrnosti, pak těžiště je v této rovině.
Těžiště může být i mimo těleso (podkova, prstenec,
dutá tělesa).
U nestejnorodých nebo geometricky
nepravidelných těles se těžiště hledá experimentálně.
Rovnovážná poloha tuhého tělesa
Zavěšené nebo podepřené těleso je v rovnovážné
poloze, jestliže svislá těžnice prochází bodem závěsu nebo podpěrným bodem a
těleso je v klidu.
Podmínky
rovnováhy:
Silová rovnováha – výslednice všech sil je nulová
F = F1 + F2
+ … + Fn = 0
Momentová rovnováha – výsledný moment všech sil
je nulový, tzn. platí momentová věta
M
= M1 + M2 + … + Mn = 0
Tuhé těleso je
v rovnovážné poloze, jestliže je vektorový součet všech sil, které na ně
působí, i vektorový součet všech momentů těchto sil rovný nule.
Těleso
může mít rovnovážnou polohu:
a) stálou (stabilní)
–
po vychýlení z této polohy se do ní těleso opět vrací
–
např. kulička v kulové misce, těleso otáčivé kolem osy nad těžištěm
–
těžiště tělesa je v této poloze nejníže
Þ nejnižší potenciální
energie; vychýlení → zvýšení Ep
b) vratkou (labilní)
– po vychýlení z této polohy se do ní těleso už nevrací, snaží se zaujmout rovnovážnou polohu
stálou
– např. Sisyfův balvan – řecké báje – Sisyfos vytlačil balvan na kopec – nahoře poloha vratká, skutálel se na druhou stranu; těleso otáčivé kolem osy pod těžištěm
– v této poloze je
těžiště tělesa nejvýše nad zemí Þ potenciální energie je
nejvyšší; vychýlení → snížení Ep
c) volnou (indiferentní)
– po
vychýlení z této polohy zůstává v nové poloze, je opět
v rovnovážné poloze
– např.
kulička na vodorovné podložce, těleso otáčivé kolem osy v těžišti
– výška těžiště se ani
při vychýlení nemění Þ potenciální energie je
konstantní; vychýlení → stejné Ep
Těleso podepřené na ploše je
ve stále rovnovážné poloze, jestliže svislá těžnice prochází podstavou tělesa.
Stabilita tělesa je míra schopnosti
udržovat rovnovážnou polohu stálou. Je to práce, kterou musíme vykonat, abychom těleso dostali
z rovnovážné polohy stálé do rovnovážné polohy vratké.
W = m × g × (h2 – h1)
Stabilita je tím větší, čím níže je těžiště ve stálé
rovnovážné poloze.
Kinetická energie tuhého tělesa
Při posuvném
pohybu mají všechny body tělesa v daném okamžiku stejnou rychlost.
Proto nemusíme kinetickou energii určovat jako součet kinetických energií všech
bodů tělesa
,
ale můžeme ji vypočítat pro celou hmotnost tělesa
,
kde m = m1 + m2 + … + mn.
Kinetická energie tělesa o hmotnosti m,
které se pohybuje posuvným pohybem rychlostí v, je rovna kinetické
energii hmotného bodu se stejnou hmotností a stejnou rychlostí.
Při otáčivém
pohybu tuhého tělesa kolem nehybné osy opisují body tělesa kružnice,
jejichž středy leží na ose otáčení. Úhlová rychlost w je pro všechny body stejná,
rychlosti jednotlivých bodů jsou přímo úměrné poloměrům kružnic, po nichž se
pohybují Þ
v1 = w × r1, v2
= w × r2, … vn
= w × rn.
Kinetickou energii tělesa určíme opět jako součet
kinetických energií jednotlivých bodů
Při otáčení tuhého tělesa kolem nehybné osy závisí
jeho kinetická energie na úhlové rychlosti otáčení; na hmotnostech jednotlivých
bodů a na jejich vzdálenostech od osy otáčení Þ na rozložení látky v tuhém tělese.
Fyzikální veličina, která vyjadřuje rozložení látky
tělesa vzhledem k ose, je moment
setrvačnosti J.
Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose
otáčení je definován vztahem
,
kde m1, m2, … mn
jsou hmotnosti jednotlivých bodů, z nichž se těleso skládá a r1,
r2, … rn jsou vzdálenosti bodů od osy.
[J] = kg × m2
Kinetická energie
tuhého tělesa otáčejícího se kolem nehybné osy úhlovou rychlostí w je dána vztahem
,
kde J
je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose otáčení.
Moment setrvačnosti je pro různé tvary těles různý.
Ty nejdůležitější jsou na obrázku (zleva – obruč nebo dutý válec, plný válec,
koule, tyč).
Největší moment setrvačnosti má těleso, které má
hmotu soustředěnu co nejdál od osy. Toho se využívá u setrvačníků. Roztočené setrvačníky mají velkou kinetickou
energii, osy setrvačníků s velkou úhlovou rychlostí udržují směr a na
změnu jejich směru je potřeba velký moment síly. Setrvačníky se využívají u
motorů, kde udržují rovnoměrný chod, udržování osy otáčení se využívá u umělých
horizontů letadel.
Při otáčení tuhého tělesa působí jednotlivé body
tělesa na osu setrvačnými silami.
Prochází-li osa otáčení těžištěm,
setrvačné síly všech bodů se navzájem zruší a na osu nepůsobí žádná síla. Pak je osa otáčení volná osa. Uchycení ve volné ose
má nesmírný praktický význam. Kdyby například kola automobilů nebyla uchycena
ve volné ose, jejich uchycení by bylo nesmírně namáháno a kolo by jednou
uletělo. Proto se v pneuservisech vyvažují.
Mezi veličinami pro posuvný a pro otáčivý pohyb je určitá
podobnost:
Hmotnost (charakterizuje setrvačnost
– schopnost udržovat rovnoměrný přímočarý pohyb nebo klid) ® moment
setrvačnosti (charakterizuje
schopnost tělesa udržovat otáčivý pohyb)
Síla ® moment síly
Koná-li těleso současně
posuvný i otáčivý pohyb kolem osy procházející těžištěm tělesa, je jeho
kinetická energie
,
kde m je
hmotnost tělesa (umístěná v těžišti), v
velikost rychlosti těžiště tělesa, J0
moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení jdoucí těžištěm tělesa, w rychlost otáčení kolem této
osy.