Rovnice postupného vlnění

Odraz vlnění v řadě bodů

Vlnění v izotropním prostředí

Huygensův princip

Odraz vlnění

Vlnění je jedním z nejrozšířenějších jevů. S vlněním se setkáváme v podobě zvuku, světla, rozhlasového či televizního vysílání atd.

Vlnění může být

– mechanické – zvláštní druh pohybu, kdy HB kmitají kolem rovnovážných poloh a vzájemně si předávají energii, př. zvuk, vodní hladina, když do ní hodíme kámen

– elektromagnetické – energie, která se přenáší prostorem ve formě elektromagnetických vln, při elektromagnetickém vlnění se mění elektromagnetické pole, kmitají vektory E (intenzita el. pole) a B (mag. indukce), př. světlo, radiové vlny, UV záření

Podmínky vzniku

– mechanické vlnění – zdrojem je mechanický oscilátor (kyvadlo, závaží na pružině, kmitající struna, blána, …), prostředí musí být pružné → musí mít dostatečný počet HB na jednotku délky. Ve vakuu nejsou molekuly a atomy (→ HB), proto se např. zvuk vakuem nešíří

– elektromagnetické vlnění – zdrojem je elektromagnetický oscilátor (LC obvod, kmity molekul, změny elektromagnetického pole uvnitř atomů), pro šíření elektromagnetického vlnění jsou nutné jen změny elektrického a magnetického pole, proto se může šířit i vakuem.

MECHANICKÉ VLNĚNÍ

Př. Vznik kruhových vln na vodní hladině, na kterou dopadl kámen. V místě dopadu kamene vznikl kmitavý rozruch, který se v podobě vln šíří všemi směry. Plovoucí předměty v určité vzdálenosti od místa dopadu se v okamžiku, kdy je dostihne vlna, rozkmitají. To znamená, že kmitavý rozruch se z jednoho místa přenesl na jiné místo a tam vzniklo kmitání. Plovoucí předměty však setrvávají na svém místě a nejsou vlněním unášeny.

Podstatou mechanického vlnění je přenos kmitání látkovým prostředím. Šíření vln není spojeno s přenosem látky. Vlněním se však přenáší energie.

Vznik vlnění

Mechanické vlnění vzniká v látkách všech skupenství a jeho příčinou je existence vazebných sil mezi částicemi (atomy, molekulami) prostředí, kterým se vlnění šíří – může vzniknout jen v pružném prostředí – dostatečný počet HB na jednotku délky. Proto se zvuk šíří lépe ve vodě (kapalina) než ve vzduchu (plyn), a ještě lépe v oceli (pevná látka). Pro jednoduchost z tohoto prostředí vybereme řadu částic, které leží na jedné přímce.

Jednotlivé částice jsou mechanické oscilátory navzájem spojené vazbou (znázorněna malou pružinou). Jestliže první kyvadlo vychýlíme a necháme jej volně kmitat, začnou postupně kmitat i ostatní kyvadla. Kmitání konstantní rychlostí v postupuje ve směru osy x. Vzniká postupné vlnění a rychlost v je rychlost šíření postupného vlnění. Je to vzdálenost, kterou vlnění urazí za 1 s.

První kyvadlo vykonalo jeden kmit za dobu rovnou periodě kmitání T. Za tuto dobu se vlnění rozšířilo do vzdálenosti, kterou nazýváme vlnová délka λ.

Vlnová délka l je vzdálenost dvou nejbližších bodů, které kmitají se stejnou fází; nebo vzdálenost, kterou vlnění urazí za jednu periodu.

Veličina f je frekvence kmitání kyvadel (f = 1/T).

Vlnová délka je vzdálenost dvou nejbližších bodů, které kmitají se stejnou fází.

Druhy vlnění

Vlnění, kdy hmotné body kmitají kolmo na směr šíření vlnění, je postupné vlnění příčné.

– je charakteristické pro pružná pevná tělesa ve tvaru tyčí, vláken; pro vodní hladinu …

– příčné vlnění snadno vytvoříme na hadici, kterou volně položíme na podlahu a jeden její konec rozkmitáme

– elektromagnetické vlnění je vlnění příčné

Větší fyzikální význam má však vlnění, při němž částice pružného tělesa kmitají ve směru, kterým vlnění postupuje. Takové vlnění nazýváme postupné vlnění podélné.

– vzniká v tělesech všech skupenství, tedy i v kapalinách a plynech

– postupným vlněním podélným se v pružných látkách šíří např. zvuk

Toto vlnění charakterizuje zhušťování a zřeďování kmitajících bodů okolo míst, v nichž jsou okamžité výchylky kmitajících bodů nulové. Zhuštění, popř. zředění postupuje opět rychlostí v ve směru osy x. Jednotlivá zhuštění nebo zředění jsou navzájem vzdálená o vlnovou délku λ.

Rychlost šíření mechanického vlnění – závisí na vlastnostech pružného prostředí a je různá pro vlnění příčné a podélné. Nazývá se také fázová rychlost.

Rovnice postupného vlnění

Postupné mechanické vlnění popíšeme vztahem, který umožňuje určit okamžitou výchylku v každém bodě řady, kterou se vlnění šíří. Tato výchylka závisí nejen na čase t, ale také na vzdálenosti x od zdroje vlnění (počátečního bodu řady). Koná-li počáteční bod Z řady (zdroj vlnění) harmonický kmitavý pohyb popsaný rovnicí , pak kmitání libovolného bodu A vzdáleného o x od počátku bodové řady lze popsat rovnicí:

kde

je doba, o kterou je kmitání bodu A opožděno za kmitáním zdroje Z.

Vztah upravíme dosazením

ω = 2×π/T

λ = v × T

a dostaneme rovnici postupné vlny pro řadu bodů:

Tato rovnice platí pro vlnění příčné podle osy x:

Pro vlnění příčné podle osy y platí vzorec:

– vlnění →

Pro vlnění podélné podle osy x platí vztah

Na obrázku je naznačeno toto vlnění. Dole jsou naznačeny výchylky jednotlivých HB; čárkovaná lomená čára značí, jakou výchylku by mělo obdobné příčné vlnění.

Pro podélné vlnění podle osy y platí vzorec:

Veličina

je fáze vlnění. Kdyby vlnění postupovalo záporným směrem vzhledem k ose x (vlevo od zdroje vlnění), bylo by ve výrazu pro fázi znaménko + Þ mechanické vlnění je děj s dvojí periodou.

Všechny veličiny popisující vlnění jsou jak funkcemi času, tak funkcemi polohy (souřadnice) bodu, kterým vlnění prochází.

Interference vlnění

– je děj, při němž se v určitém bodě prostředí, kterým se šíří vlnění, skládají okamžité výchylky dvou a více vlnění. Interference vlnění může nastat, když se setkají dvě vlnění se stejnou frekvencí, stejným směrem šíření a na sobě nezávislým dráhovým posunem. Interferencí dvou stejných vlnění vzniká výsledné vlnění, jehož amplituda je největší v místech, v nichž se vlnění setkávají se stejnou fází (interferenční maximum) a nejmenší (popř. nulová) je v místech, v nichž se vlnění setkávají s opačnou fází (interferenční minimum).

Při interferenci se skládají dvě vlnění:

O tom, jak se vlnění složí, rozhoduje jejich fázový rozdíl Δφ:

Výraz je dráhový rozdíl vlnění (dráhový posun). Fázový rozdíl vlnění je přímo úměrný dráhovému rozdílu vlnění.

Interferenční maximum vznikne, když je dráhový rozdíl roven sudému počtu půlvln

Interferující vlnění se setkávají v každém bodě se stejnou fází, proto výsledná amplituda výchylky je rovna součtu jednotlivých amplitud.

Interferenční minimum vznikne, když je dráhový rozdíl roven lichému počtu půlvln

Interferující vlnění se setkávají v každém bodě s opačnou fází, proto výsledná amplituda výchylky je rovna rozdílu jednotlivých amplitud. Při stejné amplitudě výchylek se obě vlnění zruší.

Odraz vlnění v řadě bodů

Na konci řady bodů, kterou se šíří postupné vlnění, nastává odraz vlnění. Na pevném konci se vlnění odráží s opačnou fází, na volném konci se odráží se stejnou fází.

Pevný konec je připevněný ke zdi, volný konec je nepřipevněný.

Podobně jako postupně vlnění se chová i světlo při interferenci na tenké optické vrstvě. Rozhraní řidší-hustší je pevný konec, rozhraní hustší-řidší je volný konec.

Stojaté vlnění

Když lano na jednom konci upevníme a na druhém jím začneme kmitat, v místě upevnění dojde k odrazu a dvě vlnění jdou proti sobě. Některé body budou kmitat, některé zůstanou na místě. Vznikne takovýto obrazec:

V bodech, které kmitají nejvíce, jsou kmitny, v bodech, které nekmitají, jsou uzly. Dvě kmitny jsou od sebe vzdáleny λ/2, dva uzly jsou od sebe vzdáleny také λ/2, a kmitna s uzlem jsou od sebe vzdáleny λ/4. Poloha kmiten a uzlů stojatého vlnění se nemění.

Rozdíl mezi postupným a stojatým vlněním

Při postupném vlnění kmitají všechny body se stejnou amplitudou výchylky, ale s různou fází, která se s časem mění. Vlnění se šíří fázovou rychlostí v a přenáší se jím energie.

Při stojatém vlnění kmitají všechny body mezi dvěma sousedními uzly se stejnou fází, ale amplituda výchylky je různá a závisí na poloze bodu. Energie se nepřenáší.

Vlnění v izotropním prostředí

Izotropním nazýváme prostředí, které má z hlediska šíření vlnění ve všech směrech stejné vlastnosti (fázová rychlost je ve všech směrech stejná). Ze zdroje dospěje vlnění za zvolenou dobu t na určitou vlnoplochu.

Vlnoplocha vlnění je plocha, jejíž body jsou stejně vzdálené od zdroje vlnění a kmitají se stejnou fází.

Obecně je vlnoplocha kulová plocha se středem ve zdroji vlnění, když jako vlnoplochu vybereme jen malý úsek, můžeme ji považovat za rovinu.

Směr šíření vlnění je určen v každém okamžiku normálou k vlnoploše a nazývá se paprsek.

Huygensův princip:

Každý bod vlnoplochy, do něhož dospělo vlnění v určitém okamžiku, můžeme pokládat za zdroj elementárního vlnění, které se z něho šíří v elementárních vlnoplochách. Vlnoplocha v dalším časovém okamžiku je vnější obalová plocha všech elementárních vlnoploch.

Odraz vlnění

Odraz vlnění nastane, když vlnění narazí na neprostupnou plochu.

Zákon odrazu:

1) a¢ = a → Úhel odrazu vlnění se rovná úhlu dopadu.

2) Odražený paprsek leží v rovině dopadu (určené dopadajícím paprskem a kolmicí dopadu).

Lom vlnění

Při přechodu vlnění z jednoho prostředí do druhého se mění směr šíření vlnění. Je to způsobeno tím, že se v druhém prostředí vlnění šíří jinou rychlostí.

Poměr sinu úhlu dopadu k sinu úhlu lomu je pro daná dvě prostředí stálá veličina a rovná se poměru rychlostí vlnění v obou prostředích. Nazývá se index lomu vlnění n pro daná prostředí. Lomený paprsek zůstává v rovině dopadu.

Polarizace vlnění

Když body vlnění kmitají příčně, mohou kmitat v různých rovinách. Při polarizaci se z několika kmitových rovin vybírá jedna. Demonstrovat to lze, když hadici prostrčíme podlouhlým otvorem, který je široký stejně jako hadice a hadici na jednom konci rozkmitáme. Když kmitáme v rovině, ve které leží i otvor, kmity projdou, ale když kmitáme kolmo k otvoru, buď zbouráme předmět, ve kterém je otvor, anebo to těleso utlumí kmity. Zešikma projde část kmitů.

Můžeme použít dvojí polarizace – první polarizující činitel je polarizátor, druhý ověřuje polarizaci – analyzátor.

Podélné vlnění nelze polarizovat, protože kmitání podélné je v přímce a ne v rovině nebo několika rovinách.

Ohyb vlnění

Když vlnění narazí na překážku, která má rozměry přibližně stejně velké jako je vlnová délka, změní se směr šíření vlnění, aniž by vlnění přešlo do jiného prostředí – rozdíl od lomu.

Zvukové vlnění

Fyzikálními ději, které jsou spojeny se vznikem zvukového vlnění, jeho šířením a vnímáním zvuku sluchem se zabývá akustika.

Zvuk je podélné mechanické vlnění, které vnímáme sluchem. Jeho frekvence je v rozmezí asi 20 Hz – 20 kHz. Mechanické vlnění s frekvencí f < 20 Hz Þ INFRAZVUK, s frekvencí f > 20 kHz Þ ULTRAZVUK. Periodické zvuky nazýváme hudební zvuky nebo tóny. Jednoduchý tón má harmonický průběh, složené tóny mají průběh složitější.

Zvuk zprostředkovává člověku informace o okolním světě. Celý tento děj přenosu informací si můžeme představit jako přenosovou soustavu, která má tři základní části:

– zdroj zvuku

– prostředí, kterým se zvuk šíří

– přijímač zvuku, kterým je v nejběžnějším případě lidské ucho

Zdroje zvuku: tyče (triangl), struny, blány (hlasivky), sirény, desky, píšťaly… Þ jedná se o chvění těles, které se přenáší do okolního pružného prostředí a v něm vzniká zvukové vlnění.

Fázová rychlost zvuku závisí na prostředí a jeho teplotě. Pro rychlost zvuku ve vzduchu platí přibližný vztah:

v_t = (331,82 + 0,61 {t}) m × s^–1

t je teplota v Celsiových stupních, {t} je hodnota teploty.

Rychlost zvuku ve vzduchu je (při teplotě 0 °C a hustotě suchého vzduchu 1,293 kg.m³): 331,82 m.s^–1.

Tón má svou výšku, barvu, intenzitu (hlasitost).

Charakteristiky tónu:

1) absolutní výška tónu – je u jednoduchých tónů určena frekvencí f, u složených tónů frekvencí f_z základního tónu

2) relativní výška – je poměr absolutní výšky daného tónu a frekvence tónu zvoleného jako základ (v hudební akustice 440 Hz – komorní A, v technické praxi 1000 Hz).

3) barva tónu – je způsobena počtem, frekvencí a amplitudou vyšších harmonických tónů.

Intenzita zvuku

[I] = W × m^–2, kde P je výkon zvukového vlnění a S obsah plochy, kterou vlnění prochází.

Hlasitost zvuku je subjektivním hodnocením sluchového vjemu. Ucho není citlivé na zvuky různých frekvencí stejně (nejcitlivější při frekvencích 700 Hz až 6 kHz). Jednotkou je fon, což je hlasitost, kterou člověk vnímá při poslouchání referenčního tónu 1 kHz s hladinou tlaku 40dB.

Hladina akustického tlaku

kde p je akustický tlak, který srovnáváme se základní hodnotou p₀ = 2.10^–5 Pa – nejnižší hodnota akustického tlaku působícího na ušní bubínek, při kterém je referenční tón ještě slyšitelný. Jednotkou je bel B, v praxi se používá decibel dB.

Biologický účinek hluku – závisí na individuálním fyzickém a psychickém stavu člověka.

Relativně trvalý vliv hluku:

1) na sluchový orgán

2) na vegetativní nervový systém

3) na psychiku člověka

Více než 75 dB škodí! Hluk asi 50dB ve spánku vyvolává stejnou reakci jako při bdění 80 – 90 dB! Hluk nad 100 dB vnímán jako bolest. Nad 140 dB dochází při jednorázovém působení i k sluchovému poškození, protržení bubínku.

Hluky:

– tramvaj (60 – 78 dB)

– nákladní auto (84 – 93 dB)

– osobní automobil (75 – 82 dB)

– tichá ulice bez dopravy (30 dB)

– šeptání (20 dB)

– napouštění vody do vany (78 – 81 dB)

Ultrazvuk

Vzniká v elektronických generátorech;

– široké využití v lékařské diagnostice, kde v některých případech nahrazuje škodlivé rentgenové záření → prohlídky těhotných žen;

– defektoskopie v průmyslu – zachytí se dutina ve výrobku

– vyvolává vibrace → čištění čoček, šperků

– v přírodě – sluch a orientace delfínů a netopýrů

Infrazvuk

Vzniká při provozu některých strojních zařízení.

V přírodě jsou to různé mořské a přímořské oblasti, uragany, proudění vody, zemětřesení.

Pokud se člověk ocitne v infrazvukovém poli, jsou pro něj zvlášť nebezpečné ty frekvence, které se shodují s biologickými rytmy Þ stavy nevolností, úzkosti, zástava srdce, nepropustnost cév, záchvaty hrůzy, dočasné oslepnutí a při velké intenzitě i smrt.

Pro infrazvuk existují pouze dvě překážky:

– vakuum

– dostatečná vzdálenost.

Zpět na začátek

Zpět na obsah

Zpět na hlavní stránku