GRAVITAČNÍ POLE

 

 

 

Zpět na obsah

Newtonův gravitační zákon

Gravitační a tíhové zrychlení

Svislý vrh vzhůru

Vodorovný vrh

Šikmý vrh

Pohyby těles v centrálním tíhovém poli

Keplerovy zákony

 

Gravitační pole je prostor, ve kterém působí gravitační síly. Každá dvě tělesa jsou k sobě přitahovány silou, kterou nazýváme gravitační síla.

 

Newtonův gravitační zákon

Každá dvě tělesa se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami Fg, –Fg opačného směru. Velikost gravitační síly Fg pro dvě tělesa je přímo úměrná součinu jejich hmotností m1, m2 a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti r. Platí tedy

 

k je gravitační konstanta. k = 6,67 × 10–11 N × m2 × kg–2

 

Intenzita gravitačního pole

V okolí každého tělesa existuje gravitační pole, které působí na jiná tělesa. Pro porovnání silového působení v různých místech gravitačního pole je zavedena intenzita grav. pole.

Intenzitu gravitačního pole K v daném místě pole definujeme jako podíl gravitační síly Fg, která v tomto místě na hmotný bod působí, a hmotnosti m tohoto bodu. Tedy

Intenzita gravitačního pole K je vektorová veličina stejného směru jako gravitační síla Fg, která působí v daném místě na HB. [K] = N × kg–1

Velikost intenzity gravitačního pole K v daném místě pole určíme ze vztahu pro velikost gravitační síly vyjádřenou v gravitačním zákonu.

Vektor intenzity gravitačního pole vždy směřuje do středu tělesa o hmotnosti M. Takové pole je centrální gravitační pole a střed tělesa gravitační střed centrálního pole.

Velikost intenzity gravitačního pole ve výšce h nad zemským povrchem je

MZ je hmotnost Země (5,98 × 1024 kg), RZ poloměr Země (6,37 × 106 m). Velikost intenzity se s rostoucí výškou nad povrchem Země zmenšuje. Když sledujeme gravitační pole Země na malých plochách, např. na ploše o rozměrech několika set metrů, lze gravitační pole považovat za homogenní. Intenzita v homogenním gravitačním poli je konstantní.

 

Gravitační a tíhové zrychlení

Gravitační síla udílí tělesu o hmotnosti m v daném bodě gravitační zrychlení ag = Fg/m

Þ  intenzita gravitačního pole v daném místě se rovná gravitačnímu zrychlení, které v tomto místě uděluje tělesu gravitační síla

K = ag

Na povrchu Země je gravitační zrychlení ag = 9,83  m × s–1

Na Zemi se však setkáváme s tíhovou silou FG a tíhovým zrychlením g. Ty se od gravitační síly, resp. gravitačního zrychlení liší. Je to proto, že Země se otáčí kolem své osy. Na povrchu Země působí kromě gravitační síly Fg ještě setrvačná odstředivá síla Fs otáčení Země kolem své osy (otáčející se soustava je neinerciální soustava), proto celková tíhová síla FG je jejich vektorovým součtem.

FG = Fg + Fs

Působením tíhové síly vzniká tíhové zrychlení g.

Svislý směr je směr tíhové síly a směr tíhového zrychlení, ale není to vždy směr do středu Země (do středu země tíhová síla směřuje jen na pólech a na rovníku). Prostor, kde se projevují tíhové síly se označuje jako tíhové pole.

Pro velikost odstředivé síly Fs platí:

Fs = m × w2 × r = m × w2 × RZ × cos j

r je vzdálenost místa na povrchu Země od osy otáčení, w úhlová rychlost otáčení země (w = 2p/T; T = 1 den), RZ je poloměr Země, j zeměpisná šířka místa.

Z toho vyplývá, že největší odstředivá síla je na rovníku a nulová na pólech. Velikost tíhového zrychlení závisí na zeměpisné šířce a také na nadmořské výšce. Na rovníku u mořské hladiny je g = 9,78 m × s–2; na pólech 9,83 m × s–2; v našich zeměpisných šířkách 9,81 m × s–2; dohodou bylo stanoveno normální tíhové zrychlení → u hladiny moře na 45° severní šířky Þ 9,80665 m × s–2. V malé oblasti na zemském povrchu lze i tíhové pole považovat za homogenní.

Potenciál tíhového pole je polohová energie připadající na jednotku hmotnosti. Vypočítá se jako součin tíhového zrychlení a vzdálenosti od Země.

 

Pohyby těles v homogenním tíhovém poli Země

Nejjednodušším pohybem tíhovém poli Země je volný pád. Je to pohyb způsobený tíhovou silou, je popsán tíhovým zrychlením

V homogenním tíhovém poli Země dále pozorujeme tzv. složené pohyby (vrhy). Skládají se z volného pádu a rovnoměrného přímočarého pohybu.

Podle směru pohybu dělíme vrhy na:

1.    svislý vrh vzhůru

2.    svislý vrh dolů

3.    vodorovný vrh

4.    šikmý vrh

 

Svislý vrh vzhůru se skládá z volného pádu a rovnoměrného přímočarého pohybu směrem vzhůru.

Př. Míček, který si vyhodí tenista před podáním

Pro okamžitou rychlost v a výšku nad zemí h v čase t platí vztahy:

v0 je počáteční rychlost

Část svislého vrhu vzhůru, kdy HB stoupá, se nazývá výstup; HB při něm koná rovnoměrně zpomalený pohyb. Výstup končí, je-li okamžitá rychlost rovna 0. Potom následuje volný pád. Čas, který bude trvat výstup je doba výstupu T, a HB vystoupá do výšky vrhu H.

                              

 

Svislý vrh dolů

Skládá se z volného pádu a rovnoměrného přímočarého pohybu směrem dolů. Je to rovnoměrně zrychlený pohyb se zrychlením g a s počáteční rychlostí v0.

Př. Tento pohyb nastane, když hodíme kámen do propasti. Volný pád se liší tím, že při něm kámen volně pustíme z klidu.

 

Vodorovný vrh se skládá z volného pádu a rovnoměrného přímočarého pohybu, který má směr vodorovně se Zemí. Trajektorií je část paraboly, s vrcholem v místě vrhu.

Př. Vytékající kapalina, kulička, která přejede hranu vodorovného stolu.

Délka vrhu je závislá na počáteční rychlosti v0 a na výšce H, ze které bylo těleso vrženo. Pro zjištění polohy HB je nutno pohyb rozdělit na dvě části – svislou a vodorovnou.

Svislý pohyb je volný pád z výšky H a vodorovný pohyb je pohyb rovnoměrný přímočarý. Okamžitou polohu a rychlost určíme součtem obou pohybů. Okamžitou výšku určíme

,

vzdálenost od místa vrhu

.

Okamžitou rychlost vodorovného vrhu získáme vektorovým součtem vodorovné a svislé rychlosti, kde vodorovná rychlost je stále stejná počáteční rychlosti a svislá odpovídá volnému pádu

HB dopadne na zem za dobu volného pádu T ve vzdálenosti D od místa vrhu. D označuje délku vrhu.

 

Šikmý vrh se skládá z volného pádu a rovnoměrného přímočarého pohybu šikmo k povrchu Země.

Délka vrhu závisí na počáteční rychlosti v0 a na úhlu a, pod kterým bylo těleso vrženo.

Chceme-li určit polohu a rychlost HB při šikmém vrhu, musíme si pohyb opět rozložit na svislý a vodorovný pohyb. Počáteční rychlost v0 musíme rozložit na vodorovnou počáteční rychlost vx a svislou počáteční rychlost vy.

HB koná svislý vrh s počáteční rychlostí vy a vodorovný rovnoměrný přímočarý pohyb s rychlostí vx. Polohu v daném okamžiku určíme z těchto pohybů.

Okamžitá rychlost je dána vektorovým součtem svislé a vodorovné rychlosti. Okamžitá svislá rychlost se určí stejně jako u svislého vrhu vzhůru, vodorovná rychlost je stále stejná.

Významná hodnota šikmého vrhu je délka vrhu, ve vojenské terminologii dostřel.

Délka vrhu bude největší pro úhel 45°, stejná pro dvojice a a 90° – a, tzn. 15° a 75° nebo 30° a 60°.

Př. Výstřel z děla (a < 45°), z minometu (a > 45°).

Trajektorií šikmého vrhu parabola ve vakuu a balistická křivka ve vzduchu. Balistická křivka je vždy kratší než parabola, protože ve vzduchu proti pohybu působí odpor prostředí.

 

Pohyby těles v radiálním (centrálním) tíhovém poli

Vrhy jsou pohyby těles homogenním tíhovém poli. U pohybů raket, družic nebo kosmických lodí se musí počítat s tím, že se pohybují už v radiálním poli. Trajektorie družice závisí na její rychlosti:

1.      Poměrně malá počáteční rychlost – těleso se pohybuje po části elipsy než narazí na povrch Země. Část elipsy se zvětšuje s rychlostí tělesa.

2.      Při větších rychlostech už těleso na zemský povrch nedopadne, ale opíše celou elipsu.

3.      Při počáteční rychlosti vkkruhová rychlost – už těleso opisuje kružnici se středem ve středu Země. Na toto těleso působí jednak zemská gravitace Fg jednak odstředivá rychlost Fo. Tyto síly jsou v rovnováze.

Při povrchu Země je vk = 7,9 km × s–1, což je první kosmická rychlost.

4.      Při rychlostech vyšších je trajektorie opět eliptická. Rovina elipsy prochází středem Země, v němž leží jedno její ohnisko. Bod P, v kterém má těleso nejmenší vzdálenost od Země, se nazývá perigeum, bod A, v kterém má těleso vzdálenost největší, apogeum. S rostoucí rychlostí je elipsa protáhlejší.

5.      Při počáteční rychlosti o velikosti

se eliptická trajektorie mění na parabolu a těleso se vzdaluje od Země. Rychlost vp se nazývá parabolická, úniková. Pro uvedenou vk = 7,9 km × s–1 je vp = 11,2 km × s–1, což je druhá kosmická rychlost.

6.      Než těleso dosáhne další, třetí kosmické rychlosti, pohybuje se stále v gravitačním poli Slunce. Při dosažení třetí kosmické rychlosti opouští sluneční soustavu.

 

Pohyby planet okolo Slunce se řídí Keplerovými zákony.

 

Keplerovy zákony:

1. popisuje tvar trajektorie planet:

Zákon oběžných drah

Planety obíhají kolem Slunce po elipsách málo se lišících od kružnic, jejichž společným ohniskem je Slunce.

Vrchol elipsy P, v němž je planeta Slunci nejblíže, se nazývá perihélium (přísluní), vrchol A, v němž je planeta od Slunce nejdále, afélium (odsluní).

 

2. vysvětluje, jak se planety pohybují:

Zákon plošných rychlostí

Plochy opsané průvodičem planety za jednotku času jsou konstantní.

Průvodič je úsečka, která spojuje střed planety se středem Slunce. Důsledek tohoto zákona je, že planety se v perihéliu pohybují rychleji než v aféliu.

 

3. uvádí vztah mezi oběžnými dobami planet a hlavními poloosami jejich trajektorií

Zákon oběžných dob

Poměr druhých mocnin oběžných dob planet je roven poměru třetích mocnin jejich hlavních poloos.

Uvažujeme-li že se planety pohybují po elipsách málo odlišných od kružnic, lze místo poloos dosadit střední vzdálenost od Slunce a vztah přibližně odpovídá.

Keplerovy zákony neplatí pouze pro planety ve sluneční soustavě, ale i pro tělesa obíhající okolo Země (Měsíc, satelity, … )

Vzdálenosti ve sluneční soustavě se měří v astronomických jednotkách AU, které odpovídají střední vzdálenosti Země od Slunce.

 

Zpět na začátek

Zpět na obsah

Zpět na hlavní stránku